Преобразование уравнений Навье-Стокса в уравнения Рейнольдса и их анализ с учетом значимости слагаемых

Приведенные выше дифференциальные уравнения движения, известные как уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости, справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного потока. Следуя О. Рейнольдсу [162], при турбулентном движении будем представлять характеристики течения как комбинацию осредненных и пульсационных величин. В этом случае мгновенные значения скорости и давления, входящие в уравнения Навье-Стокса, связаны с осредненными характеристиками течения следующим образом:

Вычитая последнее уравнение системы (1.14) из последнего уравнения системы (1.13), получим уравнение неразрывности пульсационного движения:

Систему уравнений (1.18) обычно называют системой уравнений Рейнольдса для плоского потока. По сравнению с исходными уравнениями Навье-Стокса в уравнениях Рейнольдса имеются два добавочных слагаемых, которые представляют собой нормальные и касательные напряжения, связанные с пульсационным движением. Среднее за интервал времени Т количество движения, переносимое вдоль OCHZ: т

Согласно теореме импульсов, количество движения, определяемое соотношением (1.19), равно касательному напряжению, взятому с обратным знаком. Аналогично соотношение (1.20) представляет собой напряжение, нормальное к площадке, также взятое с обратным знаком. Таким образом, в уравнения Рей-ноль дса (1.18) по сравнению с уравнениями Навье-Стокса входят дополнительно производные от нормальных и касательных напряжений. , поэтому нормальными напряжениями в первом уравнении системы (1.14) можно пренебречь [161]. Во втором уравнении можно пренебречь производной касательных напряжений по продольному направлению х. В рамках приближений, принятых в теории пограничного слоя [179] система уравнений Рейнольдса для стационарного течения упрощается и принимает следующий вид:

Выражение (1.22) показывает, что распределение давления по глубине турбулентного потока может несколько отличаться от гидростатического, выражаемого первым слагаемым (1.22). 1.3. Связь между пульсациями скоростей и давлений в турбулентном потоке.

Рассмотрим связь между пульсациями скоростей и давлений в турбулентном потоке. Для этого воспользуемся уравнением движения (1.13). Почленно вычитая из этого уравнения уравнение (1.14), получаем:

Полученное уравнение (1.30) известно как уравнение Пуассона. Функция/ определяемая соотношением (1.29), носит название кинематической. Для решения дифференциального уравнения (1.30) необходимо задать условия на границах. При отсутствии волн на поверхности потока граничное условие здесь имеет вид: Решение (1.34) позволяет определить пульсацию давления в точке (х, z), если известна кинематическая функция f в любой точке потока (л = х + Ах; , = z + Az) и некоторая вспомогательная функция G, называемая функцией влияния или функцией Грина [153]. Из этого выражения следует, что: пульсация давления в данной точке потока определяется не только параметрами течения в этой точке, но зависит также от кинематических характеристик во всей области течения, причем степень этой зависимости выражается через функцию Грина.

Предположим, что кинематическая функция равна нулю во всех точках потока, кроме некоторой точки, расположенной на расстоянии Дії и Az от заданной. Тогда функция G(x,z,rl,C l) будет определять степень влияния кинематической функции в точке (гц = х + Ах-у; ( = z + Az-y) на величину пульсации давления в точке (х, z).

Так как пульсация давления в данной точке зависит, строго говоря, от совокупности значений кинематической функции во всех точках потока, то для вычисления р необходимо выполнить интегрирование по координате х от -оо до +оо и по координате z от 0 до h. Рассмотрим пульсацию давления на речном дне в условиях равномерного течения. Кинематическая функция, согласно выражению (1.29), в этом случае Таким образом, для вычисления р необходимо определить функцию влияния G и кинематическую функцию / Кинематическая функция находится по данным измерений осредненных и пульсационных вертикальных скоростей в потоке [6], что указывает на актуальность исследования турбулентных пульсаций скорости.

Функция G может быть найдена в результате интегрального преобразования исходного уравнения (1.30). В частности, применение интегрального преобразования Фурье позволило В.М. Лятхеру [143] получить для условий равномерного плоского потока выражение для функции влияния и установить, что при естественной шероховатости русла

Полученное выражение обнаруживает зависимость стандарта пульсаций донного давления от динамической скорости, что позволяет предполагать характер изменения пульсационного давления совпадающим с изменением турбулентного трения по глубине потока.

 
Оригинал текста доступен для загрузки на странице содержания
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >